作业 3：神经网络学习加法与 PINN 求解静电势

截止时间与提交位置

截止时间：2026 年 10 月 30 日 23:59（北京时间）。 请将作业放入服务器个人主目录的 ~/homework3/ 文件夹。

本次作业共 10 分。请在提供的 Python 骨架上补全代码，不需要从零搭建项目。两部分分别展示从样本学习映射，以及利用物理方程求解未知函数。

一、用神经网络学习加法（5 分）

运行 starter/addition.py。输入是两个 0～999999 的随机非负整数，每个数按六位十进制数字独热编码（不足六位时高位补 0）；网络输出七位数字，表示它们的和。

程序已给出数字编码、网络结构和数据生成函数。请在主程序标出的区域补全训练代码，训练后保存 addition_model.pt。

助教将加载模型，在统一的 1000 道独立测试题上计算准确率（完整加法结果正确才计为答对）。准确率达到 80% 得 3 分（及格），达到 95% 得 5 分（满分）；0～80% 对应 0～3 分，80%～95% 对应 3～5 分，各区间内线性赋分。

想一想（选做，不计分）：为什么这里采用独热编码，而不是把每个六位数拆成六个数字直接输入？有兴趣可以另建副本，调整输入层并比较两种编码的训练效果；不要求提交，正式提交的模型仍使用提供的网络结构。

PINN 是什么？ PINN（Physics-Informed Neural Network，物理信息神经网络）用神经网络表示待求的函数，再通过自动求导计算它的导数，检查它是否满足微分方程和边界条件，并据此调整网络参数。本题不提供电势的训练标签，而是用已知的方程和边界条件指导网络求解电势。

在区域 $Ω = [0, 1] \times [0, 1]$ 内，电势满足二维泊松方程：

- (\frac{\partial^{2} φ}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} φ}{\partial y^{2}}) = ρ (x, y), ρ (x, y) = 2 π^{2} \sin (π x) \sin (π y) .

四条边均接地，即：

φ (0, y) = φ (1, y) = φ (x, 0) = φ (x, 1) = 0.

网络输入坐标 (x, y)，输出电势 φ(x, y)。starter/pinn.py 已提供网络、取样、自动求导和绘图。请根据方程与边界条件自行设计损失函数。

补全 physics_loss 和主程序中的训练循环，训练并保存 pinn.pt。

解析解为：

φ (x, y) = \sin (π x) \sin (π y) .

解析解仅用于训练后的检查，不能作为训练标签或代替网络输出。训练时可以使用题目给定的电荷密度。

助教将加载模型，在包含边界的 81 × 81 均匀网格上，计算网络电势与解析解的平均绝对误差（MAE，即各点误差的绝对值取平均，与 show_result 的计算方式相同），按下表评分：

0.001～0.01、0.01～0.05 两个区间内分别线性赋分，误差越小得分越高。最大绝对误差用于自查，不单独计分。

请思考：两道题中神经网络起到的作用有何不同？

请将以下文件放入服务器个人主目录的 ~/homework3/ 文件夹：

代码应能在服务器的 pubpy 环境中运行，不提交缓存文件。比较分析选交，不计分。

截止时间：2026 年 10 月 30 日 23:59（北京时间）。

参考示例提供谐振子前三个能级和波函数的示例，供有兴趣的同学了解 PINN 在简单物理问题中的应用；不属于必做任务，也不计分。